论文笔记：2023

2024-05-24 18:34| 来源: 网络整理| 查看: 265

期刊Pattern Recognition （Q1 8.518）作者Wei Jiang , Jun Zhang , Changsheng Zhang , Lijun Wang , Heng Qi 日期2023 文章目录本文创新点一、研究背景及方法二、符号和定义三、相关的模型四、本文的模型五、数值实验本文创新点

1.定义了张量双核范数（tensor double nuclear norm）和张量Frobenius/nuclear混合范数，作为张量tubal秩的替代并证明了这两种范数在p=1/2和p=2/3时等价于张量Schatten-p范数。

2.基于两种核范数的定义，提出了两种新的张量补全模型，分别是双核范数正则的张量补全模型（Double Nuclear norm regularized Tensor Completion,DNTC）和F/核混合范数正则的张量补全模型（FNTC）;

3.针对上述模型，设计了两种有效的求解算法；在合成数据和真实数据集上进行了实验，说明了算法的有效性。

一、研究背景及方法

现实生活中，很多数据通常是高阶张量结构，例如，三阶彩色图像和灰度视频等。这些张量数据在采集过程中可能被遗漏或部分被破坏，从而引出了张量补全问题（TC），利用数据的先验知识从部分观测到的数据进行复原。最广泛采用的先验知识是低秩性，应用场景有推荐系统、图像/视频复原、高光谱数据恢复等。

不同于矩阵的秩，张量的秩基于不同的分解有不同的秩，包括基于CP分解的CP秩、基于Tucker分解的Tucker秩、基于张量奇异值分解的tubal秩。从而不同的张量核范数被提出来代替张量秩，cTNN，SNN，TNN。基于TNN的方法有两个问题：1）TNN作为tubal秩的凸松弛，由于用相同的值等量收缩不同的奇异值，会导致有偏的解。2 )大规模张量的奇异值分解( Singular Value Decomposition，SVD )导致高的计算代价。针对这两个问题，可以采用的解决方法分别是使用非凸秩松弛代替核范数、通过分解方法将一个大规模的张量分解为两个较小的因子张量。

受矩阵填充的启发，p较小的非凸Schatten-p范数比核范数最小化需要更少的观测值。求解Schatten-p范数模型的过程涉及到大规模矩阵的SVD，可以利用矩阵分解技术提高性能。对于张量填充问题，我们利用Schatten-p范数的这两种特性，将TNN扩展为Schatten-p范数的特殊情况，p=1/2和p=2/3。基于Schatten-1/2范数和Schatten-2/3范数进行张量分解，提出了这两种的图代替，分别定义为张量双核范数（tensor double nuclear norm）和张量Frobenius/nuclear混合范数。

二、符号和定义 1. 可逆线性变换

2.块对角矩阵

3.T积

4.t-SVD

5.张量核范数TNN

6.定理

三、相关的模型矩阵填充模型：

张量填充模型：

张量分解填充模型：

张量Schatten-p范数：

四、本文的模型 1.张量双核范数（TDN）和张量F/核混合范数（TFN）

2.张量Schatten-p范数的替代

特别地， $||\mathcal{X}||_{\text{TDN}}=||\mathcal{X}||_{\mathcal{S}_{1/2}}$ ，当p=1/2，p1=p2=1； $||\mathcal{X}||_{\text{TFN}}=||\mathcal{X}||_{\mathcal{S}_{2/3}}$ ，当p=2/3，p1=1，p2=2。